» E tạp chí » Toán học » Dành cho các bạn thi Đại học và Cao đẳng

Dành cho các bạn thi Đại học và Cao đẳng

Phương trình mũ và lôgarit cơ bản

Thứ Ba, 17/04/2012, 08:49 SA | Lượt xem: 3746

Phương trình mũ và phương trình lôgarit là nội dung rất quan trọng trong các kỳ thi đại học cao đẳng. Các dạng bài tập cũng rất phong phú như giải phương trình, chứng minh nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện cho trước (tồn tại, tồn tại duy nhất, hữu hạn nghiệm,…), giải và biện luận phương trình theo tham số, chứng minh phương trình tương đương,…

Các phương pháp

Các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ và phương trình lôgarit là
- Đưa về các phương trình mũ và lôgarit cơ bản, bao gồm các cách
1) Đưa về cùng một cơ số;
2) Đặt ẩn phụ;
3) Mũ hoá (hoặc lôgarit hoá).
- Phương pháp đồ thị.
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit.
Ngoài ra, còn một số phương pháp giải khác như phương pháp biến thiên hằng số, sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle, đánh giá, phương pháp hàm số,… Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội dung cụ thể.
Bài viết này giới thiệu phương pháp đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản. Đây là phương pháp rất cơ bản, thường được sử dụng. Các cách để đưa về phương trình mũ, lôgarit cơ bản là đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hoặc lôgarit hoá.

Một số ví dụ

Ví dụ 1.
Giải các phương trình mũ sau

a) $3^{x^2-4x+5}=9$ ;
b) $1,5^{5x-7}=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x+1}$ ;
c) $2^{2x-1}+4^{x+2}=10$ ;
d) $0,125.4^{2x-3}=\Big (\dfrac{\sqrt[3]{2}}{8}\Big )^{-x}$

Lời giải
a) Đưa về cùng cơ số $3$ , ta có phương trình tương đương với
$3^{x^2-4x+5}=3^2\Leftrightarrow x^2-4x+5=2\Leftrightarrow x=1\vee x=3.$
Vậy $1; 3$ là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Ta có $\dfrac{2}{3}=\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^{-1}=1,5^{-1}$ nên phương trình đã cho có dạng $1,5^{5x-7}=1,5^{-x-1}.$
Vậy $5x-7=-x-1$ hay $x=1$ là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình đã cho tương đương với
$\dfrac{1}{2}.4^x+16.4^x=10\Leftrightarrow \dfrac{33}{2}.4^x=10\Leftrightarrow 4^x=\dfrac{20}{33}\Leftrightarrow x=\log_4\dfrac{20}{33}.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=\log_4\dfrac{20}{33}$ .
d) Đưa hai vế về cùng cơ số $2$ , ta được
$2^{-3}.2^{4x-6}=\Big (2^{\frac{-5}{2}}\Big )^{-x}\mbox{ hay } 2^{4x-9}=2^{\frac{5}{2}x}.$
Do đó $4x-9=\dfrac{5}{2}x\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x=9\Leftrightarrow x=6.$
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm $x=6$ .
Chú ý.
Muốn đưa các lôgarit về cùng một cơ số, ta thường xem mối liên hệ giữa các cơ số và thường sử dụng các tính chất sau của lôgarit:
$a=\log_b b^a;\ \log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}.$

Ví dụ 2.
Giải các phương trình lôgarit sau
a) $\lg x+\lg (x+9)=1$ ;
b) $\log_2x+\log_4x+\log_8x=11$ ;
c) $\log_5x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{125}}\sqrt{x^3}=\dfrac{11}{2}$ ;
d) $\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x$ .
Lời giải
a) Điều kiện $\bc x>0,\\ x+9>0\ec\Leftrightarrow x>0.$ Phương trình đã cho tương đương với
$\lg x(x+9)=\lg 10\Leftrightarrow x(x+9)=10\Leftrightarrow x=1\vee x=-10.$
Vì $x>0$ nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là $x=1$ .
b) Điều kiện $x>0$ . Đưa về cùng cơ số $2$ , ta có
$\log_2x+\log_{2^2}x+\log_{2^3}x=11\Leftrightarrow \log_2x+\dfrac{1}{2}\log_2x+\dfrac{1}{3}\log_2x=11\Leftrightarrow \dfrac{11}{6}\log_2x=11.$
Do đó $\log_2x=6$ và $x=2^6=64$ .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=64$ .
c) Điều kiện $x>0$ . đưa về cùng cơ só $5$ , ta có
$\log_5x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{125}}\sqrt{x^3}=\dfrac{11}{2}$
$\Leftrightarrow 3\log_5x+3\log_{5^2}x+\log_{5^{\frac{3}{2}}}x^{\frac{3}{2}}=\dfrac{11}{2}$
$\Leftrightarrow 3\log_5x+3.\dfrac{1}{2}\log_5x+\dfrac{3}{2}.\dfrac{2}{3}\log_5x=\dfrac{11}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{11}{2}\log_5x=\dfrac{11}{2}$
$\Leftrightarrow \log_5x=1\Leftrightarrow x=5^1=5$ (thoả mãn).
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=5$ .
d) Điều kiện $x>0$ . Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có
$\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x$
$\Leftrightarrow \log_2x+\dfrac{\log_2x}{\log_23}+\dfrac{\log_2x}{\log_24}=\dfrac{\log_2x}{\log_220}$
$\Leftrightarrow \log_2x.\Big (1+\dfrac{1}{\log_23}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\log_220}\Big )=0$
$\Leftrightarrow \log_2x.\Big (\dfrac{3}{2}+\log_32-\log_{20}2\Big )=0.$
Ta có $\dfrac{3}{2}+\log_32-\log_{20}2>\dfrac{3}{2}+0-1>0$ . Do đó từ phương trình trên ta phải có $\log_2x=0$ hay $x=2^0=1$ .
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Chú ý. Khi giải phương trình lôgarit, ta phải đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

Một số bài tập

Bài tập 1

Giải các phương trình mũ sau
a) $7^{x-1}=2^x$ ;
b) $8^{\frac{4}{3}x^3-2x^2+2}=4^{x^2+x+1}$ ;
c) $0,75^{2x-3}=\Big (1\dfrac{1}{3}\Big )^{5-x}$ ;
d) $5^{x+1}-5^x=2^{x+1}+2^{x+3}$ .

Hướng dẫn
a) Lấy lôgarit cơ số $2$ cả hai vế. Đáp số: $x=\dfrac{\log_2 7}{-1+\log_2 7}$ .
b) Lấy lôgarit cơ số $2$ cả hai vế. Đáp số $x=2;\ x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
c) Viết $0,75=\dfrac{3}{4};\ 1\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$ . Đáp số $x=-2$ .
d) Phương trình tương đương với $5.5^x-5^x=2.2^x+2^3.2^x$ . Đáp số: $x=1$ .

Bài tập 2.

Giải các phương trình lôgarit sau
a) $\ln (x+1)+\ln{x+3}=\ln (x+7)$ ;
b) $\lg x^4+\lg 4x=2+\lg x^3$ ;
c) $\dfrac{\lg (\sqrt{x+1}+1)}{\lg\sqrt[3]{x-40}}=3$ ;
d) $\log_4\log_2x+\log_2\log_4x=2$ .

Hướng dẫn
a) ĐS: $x=1$ .
b) Đưa về cùng cơ số $10$ . ĐS $x=5$ .
c) Phương trình tương đương với $\lg (\sqrt{x+1}+1)=\lg (x-40) (x>40)$ .
ĐS: $x=48$ .
d) ĐS: $x=16$ .